The organization of a three-manual keyboard for 53-tone tempered and other tempered systems

The aim is to explore new opportunities of the pitch organization of the musical scale. Specifically, a numerical comparison of the different musical temperaments among themselves in the degree of approximation of the Pythagorean scale is provided, and thus it numerically substantiates the thesis that the 53-tone tempered system is the most advanced among possible others. We present numerical data on the approximation of overtones from first twenty by steps of the 53-tone temperament. Here were proposed some schemes of the three-manual keyboard for the implementation of 53-tone temperament, which are also implemented at the same time for 12 -, 17 -, 24 -, 29 and 41-sounding system. If there are technical means then these schemes can be used to play music in any temperaments, based on said number of steps. Реферат: Целью работы является исследование новых возможностей высотной организации музыкального звукоряда. А именно, предлагаются схемы организации трех-мануальной клавиатуры для реализации 53-ступенной темперации, в которых также одновременно реализуются 12-, 17-, 24-, 29-, 41звучные системы, каждая в своей схеме, и которые при наличии технических средств могут быть использованы при исполнении музыкальных произведений в любой из темпераций, основанных на указанных числах ступеней. В качестве введения и для обоснования тезиса о необходимости использования в музыкальной теории и практике иных, нежели 12-звучная, темпераций проводится численное сравнение различных музыкальных темпераций между собой в степени приближения пифагорейского звукоряда. Тем самым, численно обосновывается известный тезис о том, что 53-ступенная темперированная система является в этом плане наиболее совершенной среди возможных других. Приводятся также числовые данные о приближении обертонов первой двадцатки ступенями 53-ступенной темперации. В предлагаемых схемах организации звукоряда реализуются известные равенства 5+7=12, 12+5=17, 12+12=24, 12+17=29, 12+29=41, 12+17+24=53, возникающие при рассмотрении темперированных систем. Рассмотрены также некоторые связанные теоретические вопросы, например, кварто-квинтовый круг, системы интонирования и другие. 1. Введение. Развитие музыки приводит к естественному появлению и апробации новых изобразительных средств, в частности, систем расположения звуков по высоте. С историей этого направления в теории музыки читатель может познакомиться по книге [10], по брошюре [13], устоявшиеся представления изложены, например, в учебнике [8], современный взгляд на историю, нынешнее состояние и практику микрохроматики содержится в обзоре [5], связи с физиологией восприятия см., например, в книге [4] и статье [7]. В настоящей работе изучаются новые возможности высотной организации звукоряда в музыке. Актуальность вопроса сейчас часто подчеркивается в публикациях (см., напр., [6], [5], [2]). В настоящей работе мы исходим из базового положения о том, что для удобства исполнения система расположения звуков должна быть равномерной, т.е. темперированной, и, как это принято со времен Пифагора, построенной на основе квинты. Ниже рассматриваются различные темперированные системы, приводится численное сравнение точности отображения в них основных обертонов и на этой основе обсуждаются преимущества перед другими 53ступенной темперированной системы, которой в основном и посвящены дальнейшие построения. Преимущества 53-ступенной темперации (называемой иногда темперацией Меркатора) многократно отмечались в литературе, см., напр., книги [6], [13] (в работе [13], §6 они прямо называются «преимуществами чистого строя»). Более того, были предложены и изготовлены инструменты, реализующие эту темперацию. Так, в той же работе [13] упоминаются инструменты с 53-ступенной темперацией: у R.H.M. Bosanquet (Лондон, 1875) с одним мануалом и 84 клавишами в октаве, а также инструмент доктора Sh. Tanaka с 26 звуками в октаве и транспонирующим приспособлением (c ↔ ges). Более современные предложения организации клавиатуры для реализации 53ступенной темперации имеются в работе [12], где клавиши в виде сот располагаются в несколько рядов. Приведем еще цитату из работы [5]: «об акустическом превосходстве этой темперации писал еще Г.М. РимскийКорсаков. Однако большой популярности эта темперация не завоевала, вероятно, в силу своей непрактичности». Настоящая работа как раз направлена на улучшение практичности 53ступенной системы. Принципиально новой здесь является предлагаемая ниже идея расположения ступеней в виде трёх-мануальной клавиатуры, реализация которой позволяет, с одной стороны, например, в теоретических изысканиях, использовать полный набор звуков системы, и, с другой стороны, при исполнении большинства произведений пользоваться двумя (из имеющихся трех) мануалами или даже привычным для всех одним фортепианным мануалом. Кроме того, предлагаемая трёх-мануальная клавиатура позволяет одновременно реализовать различные системы интонирования, а также 12-, 17-, 24-, 29и 41звучные темперированные системы при наличии соответствующих технических средств. Отметим еще, что трех-мануальная клавиатура для исполнения произведений в 53-ступенной системе в литературе до нас не предлагалась. 2. Возможности приближения чистой (натуральной) квинты в различных темперированных системах. Выберем какой-нибудь основной тон (фундаментальной) частоты ω1 (герц) и будем от него строить темперированную музыкальную систему. Напомним (см., напр., [1], а также [9]), что интервальный коэффициент k какого-либо тона частоты ω2 по отношению к основному тону (и интервальный коэффициент соответствующего интервала) выражается формулой k = ω2 / ω1, интервальный коэффициент чистой октавы равен 2, а интервальный коэффициент чистой (натуральной) квинты равен 3/2. Напомним еще, что высота этого тона с интервальным коэффициентом k по отношению к основному (и величина интервала между ними) характеризуется величиной h={log2 k}, которую будем называть высотой этого тона (здесь {d}— дробная часть числа d, например, {3,14}=0,14). Напомним также, что для числовой характеризации тонов и соответствующих интервалов октаву по логарифмической шкале принято делить на 1200 частей. Эти части называются центами (обозначение с от англ. cent), тогда высота нашего тона (и величина интервала) в центах равна 1200 h. Тогда равномерная темперация – это задание тонов, разбивающих октаву на равные интервалы, т.е. каждый из этих интервалов содержит одно и то же число центов. Среди множества всех интервалов между различными тонами темперации должны быть такие, которые достаточно хорошо приближают консонирующие интервалы, такие как чистая квинта и большая терция, порожденные соответственно 3-м и 5-м обертонами основного тона. Обычно между этими двумя возможностями выбирают лучшее приближение для квинты, нежели для терции, что ниже будем предполагать и мы тоже. В темперированном строе, состоящем из q ступеней, мы должны получить каждую из этих ступеней, равномерно двигаясь по шкале частот от коэффициента 1=2 до октавного коэффициента 2=2 шагами по 2 (всего q ступеней в октаве). При этом чистую квинту должен приближать интервал между, например, первой ступенью с коэффициентом 1=2 и p+1-й ступенью с коэффициентом β = 2 . Мы получили, что высота темперированного квинтового тона равна p/q (рациональному числу). А высота чистого квинтового тона выражается числом α = log2 3/2 = 0,5849625007, что составляет 701,95500084 c. Для того, чтобы темперация имела бы практический смысл и музыкальное звучание, важно, чтобы её темперированная квинта была бы близка к чистой квинте, поэтому следует рассматривать те системы, т.е. те целые числа q, для которых найдется целое p такое, чтобы число p/q было бы достаточно близко к числу . При этом, чем меньше их разность  =   p/q , тем ближе этот темперированный звукоряд к звукоряду Пифагора (расширенному диатоническому), т.е. составленному из чистых квинт, а потому нетемперируемому принципиально, поскольку   иррациональное число. Подчеркнем, что дробь p/q равна показателю степени в выражении для интервального коэффициента β = 2 темперированной квинты, т.е. для отношения частоты темперированного квинтового тона к частоте основного тона в нашем рассмотрении. Ниже, в таблице 1, приведены лучшие рациональные приближения числа  и их отклонения  =   p/q (  = 0,5849625007, ∙1200 = 701,95500084 ), причем, может быть, стоит отметить, что дробь 7/12 = =0,5833333333 ( = 700 c) отвечает случаю баховской 12-звучной темперации. Вычисления, представленные в таблице 1, не являются новыми, различные результаты многократно появлялись в литературе, а сама таблица 1, как и предыдущие пояснения, приведена здесь для удобства читателя. Заметим, что число ступеней в квинте мы понимаем здесь как номер ступени квинты минус один, то есть, если основной тон имеет номер 1, то квинтовый тон – номер p+1. Таблица 1. Приближения чистой квинты в различных темперациях Число звуков в темперации q Число ступеней в квинте p Высота темперированной квинты, т.е. отношение p/q Отношение p/q в центах, т.е. число p/q ∙ 1200 Отклонение